杨宪伟——用12种方法求多元函数的最值：榆林十中数学教研组会教研成果之一

12种方法求多元函数的最值

————记榆林十中数学教研组会教研成果

0

1

内容摘要

2020年9月16日，榆林十中数学教研组会按照学校安排准时进行，会议由数学教研组长刘鹏程老师主持，由榆林十中第一任数学教研组长张东梅老师主讲，本次教研组会主要讨论了利用基本不等式等工具求多元函数的最值，会议中老师们各抒己见，精彩纷呈。最后数学教研组蹲组负责人杨宪伟老师总结了大家的方法，最终得到了12种处理多元函数的最值问题的方法，现与大家分享(下用教研组会中讨论的一个例子加以说明)。

引例分析

0

2

解法1

消元变形，凑出定值

解法2

常数代换，化为齐次

解法3

和积关系，求出范围

解法4

开门见山，直接求解

解法5

柯西出马，瞬间秒杀

解法6

三角换元，目标可达

解法7

等值换元，威力不凡

解法8

万能大法，判别式法

解法9

研究函数，数形结合

解法10

函数偏导，求出极值

解法11

拉格朗日，数乘大法

解法12

小题小做，巧字当先

典例点评

由于该引例比较简单，所以用12种方法解决该题，给人以“杀鸡用牛刀”的感觉，尤其是解法10，解法11这两种高等数学背景下的解法。但是由于每一种方法都有自己的优势，同时也有限制和局限，所以不同的题目可能会用到其中不同的方法才可以顺利解决问题。本引例给出的12种方法基本涵盖了解决多元函数的最值问题的常用方法，当然也有一些方法在本例中未涉及，如配方法等。解法12是比较有争议的一种方法，它是做小题的一种技巧性较强的方法，用好了可以瞬间口算结果，但有限制条件，也就是说并不是所有题目都可以用，所以如果不清楚原理，最好慎用。首先，必须是变换变量后题目不变，才可以用该法，还包括直接不能使用但换元后可用的情况。除此以外的情况是一定不能使用的。其次，满足上述条件的题目，也不是都可以用，以下两种情况不可以用：第一，用此法求出的最值不是所要的最值，如算出的是最小值，而题目要求的是最大值(详见典例1和典例2)。第二，主要就是把这两个变量结合为一个变量的情况，也就是用通法求解时不是将这两个变量作为单个变量求解(以上情况很少，近10年高考仅出现过一次，详见典例4)。

关于类似解法12的一些技巧性较强的快速解法，我个人有如下的观点，首先是否能用完全取决于命题人，命题人不想让你用这样的方式得分，你肯定用不了，用了甚至会掉入“陷阱”。所以遇到能用的情况那就是赚到，但不要寄希望于这个。其次自己是否需要掌握或者使用这样的技巧要看个人的情况，个人建议特别优秀的学生可以去用，因为他们有能力理解本质和准确识别是否能用。其次基础较差的学生可以记忆一些这样的技巧，因为如果不用，这种题他们用通法一般是做不了的。而中等学生，他们有能力用通法做，但对快速解法的本质有可能理解不了，防止用错，还是稳扎稳打通法的好。

0

3

典例分析

01

典例1

典例点评

本例给出了上文12种解法中的两种方法的解答。本例难度相对较大，表面看来交换变量题目不变，可以用解法12求解，但计算出结果后发现求出的是最小值，而题目要求是最大值。这就是说命题人不想让你用这样的方式求解，本例最后用基本不等式求解，可以看出用基本不等式的主体是两个变量合并后的更复杂的量，所以不满足用解法12的条件。

02

典例2

典例点评

本例给出了上文12种解法中的三种方法的解答。本例难度相对较大，表面看可以交换变量题目不变，可以用解法12求解，但只能求出的范围的一端，所以还得改用它法。

03

典例3

典例点评

本例给出了上文12种解法中的三种方法的解答。解法3看似暴力，实际上背后有待定系数法的强大支撑。

04

典例4

典例点评

本例是今年高考非常经典的一个题目，题目难度不大，表面看来交换变量题目不变，可以用解法12求解，但计算出的结果竟然既不是最大值也不是最小值。命题人很有可能想给那些过度关注技巧和秒杀的朋友们一些警示。本例用基本不等式求解，可以看出用基本不等式的主体是两个变量合并后的更复杂的量,所以不满足用解法12的条件.

结束语

0

4

这样一次有意义的教研活动，虽然花了不少时间整理内化，但是仍然感觉有不少的遗憾，面对一个题，我们总是想用更多的方法去解决问题，以此来开阔自己和学生的视野与思维．而我们又想教给学生一种方法能解决所有同类的题。到头来我们会发现每一种方法都有局限。其实教研和教学一样，都是一门遗憾的艺术，所以教学教研一直在路上，数学的思辨一直在路上，我们能做的就是不断学习和交流来提升自己．文中很多的观点和方法可能还有瑕疵，欢迎大家留言交流．最后留两个思考题，供有兴趣的朋友们思考．

【来源】杨宪伟老师工作室。

【推荐阅读】

【投稿须知】公众号《许兴华数学》诚邀全国各地中小学数学教师、教研员和数学爱好者热情投稿！来稿时请注意以下五点：

（1）来稿请注明真实姓名、工作单位、联系方式（无具体工作单位和真实姓名的投稿，一般都不会采用）。

（2）来稿一般要求同时用word文档和PDF格式的电子稿件（防止不同版本的Word打开时出现乱码）。另外，也接受少数著名教师的手写稿（手写稿必须清晰可读）。

（3）每篇文章请认真审查复核，防止错误发生，来稿文责自负。如有抄袭，则有可能被举报并受到有关著作版权部门的追责。
（4）投稿邮箱：[e-mail]；或加主编微信xuxinghua168投稿.（5）本公众号对优秀作者和名师一般会附上“作者简介”，以让广大读者更好地了解作者的研究成果和方向，以便进一步学习作者的相关数学思想或解题方法。